实有理函数不定积分

定义

有理函数指两个实多项式函数的表示的函数.在实数域中,有理函数形如

$ R \left( x \right) = \dfrac{ P \left( x \right) }{ Q \left( x \right) } = \dfrac { \alpha_{n}x^{n} + \alpha_{n-1}x^{n-1} + \ldots + \alpha_{1}x + \alpha_{0} }{ \beta_{m}x^{m} + \beta_{m-1}x^{m-1} + \ldots + \beta_{1}x + \beta_{0} } $,

其中 $ \alpha, \beta \in \mathbb{R} $,$ m, n \in \mathbb{N} $,并且$ \alpha_{n}, \beta_{m} \neq 0 $.

ps: 注意到这里的 $ \alpha, \beta $ 是实系数,因此该多项式仍然在实数域中(即可以是无理数).“有理函数”中的“有理”强调多项式分数这种形式,因而,不管在整数环、实数域还是复数域中,都可以产生有理函数.


粗分:加法式

实多项式的性质使得 $ Q \left( x \right) $ 可以被唯一、两两互素地分解为

$ Q \left( x \right) = \left( x-a_{1} \right) ^{ \lambda _{1} } \, \left( x-a_{2} \right) ^{ \lambda _{2} } \ldots \, \left( x-a_{s} \right) ^{ \lambda _{s} } \, \left( x^{2} + p_{1}x + q_{1} \right) ^{ \mu _{1} } \, \left( x^{2} + p_{2}x + q_{2} \right) ^{ \mu _{2} } \ldots \, \left( x^{2} + p_{t}x + q_{t} \right) ^{ \mu _{t} } $

的形式,不妨记为

$ Q \left( x \right) = Q\!A_{1}^{ \lambda _{1} } \left( x \right) \ldots Q\!A_{s}^{ \lambda _{s} } \left( x \right) \, Q\!B_{1}^{ \mu _{1} } \left( x \right) \ldots Q\!B_{t}^{ \mu _{t} } \left( x \right) $.

而 $ R \left( x \right) = \dfrac{ P \left( x \right) }{ Q \left( x \right) } $ 根据部分分式分解性质,它可以再分为形如

$ R \left( x \right) = \dfrac{ P \left( x \right) }{ Q \left( x \right) } = \dfrac{ P_{1} \left( x \right) }{ Q\!A_{1}^{ \lambda _{1} } \left( x \right) } + \dfrac{ P_{2} \left( x \right) }{ Q\!A_{2}^{ \lambda _{2} } \left( x \right) } + \ldots + \dfrac{ P_{s+t} \left( x \right) }{ Q\!B_{t}^{ \mu _{t} } \left( x \right) } $

的分式之和.


细分:可积加法式

我们分别考察 $ \dfrac{ P_{u} \left( x \right) }{ Q\!A^{\lambda} } $ 和 $ \dfrac{ P_{v} \left( x \right) }{ Q\!B^{\mu} } $ 的性质.

对于 $ \dfrac{P_{u} \left( x \right)}{Q \! A_{i}^{\lambda_{i}} \left( x \right)} $,有

$ \displaystyle \dfrac{P_{u} \left( x \right)}{Q \! A_{i}^{\lambda_{i}} \left( x \right)} = \dfrac{P_{u} \left( x \right)}{\left( x-a_{i} \right)^{\lambda_{i}}} = \dfrac{C_{1}}{\left( x-a_{i} \right)} + \dfrac{C_{2}}{\left( x-a_{i} \right)^{2}} + \ldots + \dfrac{C_{\lambda_{i}}}{\left( x-a_{i} \right)^{\lambda_{i}}} $,

其中 $ C_{i} $ 为常数;

对于 $ \dfrac{P_{v} \left( x \right)}{Q \! B_{i}^{\mu_{i}} \left( x \right)} $,也有

$ \displaystyle \dfrac{P_{v} \left( x \right)}{Q \! B_{i}^{\mu_{i}} \left( x \right)} = \dfrac{P_{v} \left( x \right)}{\left( x^{2} + p_{i} x + q_{i} \right)^{\mu_{i}}} = \dfrac{D_{1} x + E_{1}}{\left( x^{2} + p_{i} x + q_{i} \right)} + \dfrac{D_{2} x + E_{2}}{\left( x^{2} + p_{i} x + q_{i} \right)^{2}} + \ldots + \dfrac{D_{\mu_{i}} x + E_{\mu_{i}}}{\left( x^{2} + p_{i} x + q_{i} \right)^{\mu_{i}}} $,

其中 $ D_{i}, E_{i} $ 为常数.

此时我们得到了一个完全由 $ \dfrac{C}{\left(x-a\right)^{\lambda}} $ 和 $ \dfrac{Dx+E}{\left(x^{2}+px+q\right)^{\mu}} $ 构成的加法式.


不定积分

最终,只需要利用以下两种不定积分:

$ \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{\left(x-a\right)^{k}}=\begin{cases}\ln\left|x-a\right|+C,\quad k=1,\\ \\ \dfrac{1}{\left(1-k\right)\left(x-a\right)^{k-1}}+C,\quad k>1;\end{cases} $

$ \displaystyle\int\dfrac{Ax+B}{\left(x^{2}+px+q\right)^{k}}{\rm d}x=\begin{cases}\dfrac{A}{2}\ln\left(t^{2}+r^{2}\right)+\left(B-\dfrac{p}{2}A\right)\,\dfrac{1}{r}{\rm arctan}\,\dfrac{t}{r}+C,\quad k=1,\\ \\ \dfrac{A}{2\left(1-k\right)\left(t^{2}+r^{2}\right)^{k-1}}+\left(B-\dfrac{p}{2}A\right)\displaystyle\int\dfrac{{\rm d}t}{\left(t^{2}+r^{2}\right)^{k}},\quad k>1,\end{cases}$

其中 $ t=x+\dfrac{p}{2},\; r^{2}=q-\dfrac{p^{2}}{4} $,并且 $ \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}t}{\left(t^{2}+r^{2}\right)^{k}}=I_{k}=\dfrac{t}{2r^{2}\left(k-1\right)\left(t^{2}+r^{2}\right)^{k-1}}+\dfrac{2k-3}{2r^{2}\left(k-1\right)}I_{k-1},\quad k>1 $.

理论上,我们就能得到一切实有理函数的不定积分了.

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