需掌握的前置内容:现代汉语、基础算数、基本代数符号(包括英文字母希腊字母)、基础组合、量词(存在任意)、集合集合的实例(包括自然数集合、实数集等)、映射

1、运算

二元关系

  定义 $ 1.1.1 $ 设 $ X, Y $ 是两个非空集合,存在两个元素 $ x\in X,\, y\in Y $,我们将这两个元素组合而成的有序数对 $ \left(x,y\right) $ 称为一个有序对(或称有序偶(这看作一个元素),注意这里的顺序是不能轻易改变的.$ X,Y $ 上所有 $ \left(x,y\right) $ 有序对的集合记作 $ X\times Y $,称为 $ X $ 与 $ Y $ 的笛卡尔积(注意,这是一个集合)

  定义 $ 1.1.2 $ 如果构成笛卡儿积的两个集合都为 $ X $,并在笛卡儿积 $ X\times X $ 中取一个子集 $ \omega $,那么 $ \omega $ 就称为 $ X $ 上的一个二元关系(这也是一个集合).如果 $ \left(a,b\right) $ 在集合 $ \omega $ 中,那么称 $ a $ 与 $ b $ 符合 $ \omega $,记作 $ a\omega b $(同样地,$ a,b $ 顺序不可轻易改变)

  定义 $ 1.1.3 $ 如果 $ X $ 上一个二元关系 $ \omega $,对于 $ \forall\; x,y,z\in\omega $ 都有
  $ \left(i\right) $ 反身性 $ x\omega x $;
  $ \left(ii\right) $ 对称性 若 $ x\omega y $,则 $ y\omega x $;
  $ \left(iii\right) $ 传递性 若 $ x\omega y,\, y\omega z $,则 $ x\omega z $.
那么称 $ \omega $ 是一种等价关系(这还是一个集合),$ x\omega y $ 也可以记作 $ x\sim y $.

代数结构

  定义 $ 1.2.1 $ 如果存在一个映射,将集合 $ X\times Y $ 上的有序对 $ \left(x,y\right) $ 映射到一个集合 $ Z $ 的元素 $ z $ 上,则称这种映射为一个代数运算(这是一个映射).一般将这个映射的符号记作 $ \circ $,代数运算定义为

$ \circ:X\times Y\rightarrow Z,\;\left(x,y\right)\mapsto z $,

其中 $ x\in X, y\in Y, z\in Z $,并且这种运算可以简记作

$ x\circ y=z $.

  定义 $ 1.2.2 $ 如果这三个集合都相同,即 $ \circ $ 将 $ X\times X $ 映射到 $ X $ 上,那么称 $ \circ $ 是一个二元运算(这也是一个映射),同样可记为 $ \circ:X\times X\rightarrow X,\;\left(x,y\right)\mapsto z $,其中 $ x,y,z\in X $.

整数集上的加法二元运算 $ +:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z},\;\left(x,y\right)\mapsto x+y $ 被定义为两个元素的算数和.
这里我们严格区分“算数和”与“加法”.“算数和”是一种映射的实际例子,等同于算数中的加法;而“加法”是一个并未具体定义的映射概念,在不同的时候,会有不同的实际定义.

另外,封闭性和完备性是映射本身的性质,在这种定义体系中,不需要在运算中单独说明.

  定义 $ 1.2.3 $ 一个集合 $ X $ 与该集合上的一个二元运算 $ \circ $ 的整体称为一种代数结构,记作 $ \left(X,\circ\right) $.

运算可能具有的性质

  定义 $ 1.3.1 $ 称 $ \circ:X\times X\rightarrow X $ 是结合的,如果 $ X $ 中的任意元素 $ a,b,c $ 满足

$ \left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right) $.

这里的括号表明了运算的先后顺序.

  定义 $ 1.3.2 $ 称 $ \circ:X\times X\rightarrow X $ 是交换的,如果 $ X $ 中的任意元素 $ a,b $ 满足

$ a\circ b=b\circ a $.

  定义 $ 1.3.3 $ 如果 $ X $ 上有两种二元运算,称 $ \oplus:X\times X\rightarrow X $ 对 $ \circ:X\times X\rightarrow X $是分配的,如果 $ X $ 中的任意元素 $ a,b,c $ 同时满足

左分配律 $ \left(a\circ b\right)\oplus c=\left(a\oplus c\right)\circ\left(b\oplus c\right) $,
右分配律 $ c\oplus\left(a\circ b\right)=\left(c\oplus a\right)\circ\left(c\oplus b\right) $.

  定义 $ 1.3.4 $ 在结合的代数结构 $ \left(X,\circ\right) $ 中(“结合的”指 $ \circ $ 是结合的),如果存在 $ e\in X $,使得 $ \forall\, x\in X $ 有 $ x\circ e=e\circ x=x $,就称 $ e $ 是 $ \left(X,\circ\right) $ 的一个单位元

必须同时满足 $ x\circ e=x $ 和 $ e\circ x=x $ 这两者的 $ e $ 才是单位元.
另外,非结合的代数结构没有被定义单位元;即使结合的代数结构也不一定拥有单位元.例如 $ \circ:X\times X\rightarrow X $ 定义为 $ \circ:\left(x,y\right)\mapsto y $,这种代数结构就没有单位元(对于 $ \forall\, x\neq e $,恒有 $ e\circ x=x\neq e $).

  定理 $ T1.1 $ 如果一个代数结构有单位元,则单位元是唯一的.

  $ T1.1 $ 证明 如果有两个单位元 $ e_{1},\,e_{2} $,那么

$$ \begin{aligned} e_{1}=e_{1}\circ e_{2}=e_{2}.\\ & \square \end{aligned} $$

  定义 $ 1.3.5 $ 在一个有单位元 $ e $ 的代数结构 $ \left(X,\circ\right) $ 中,如果对于某些 $ x\in X $ 存在 $ y\in X $ 使得 $ x\circ y=y\circ x=e $,则称这些 $ x $ 是可逆的,并称 $ y $ 是 $ x $ 的一个逆元

  定理 $ T1.2 $ 如果一个代数结构的某个元素有逆元,则逆元是唯一的.

  $ T1.2 $ 证明 如果 $ x $ 有两个逆元 $ y_{1},\,y_{2} $,那么

$$ \begin{aligned} y_{1}=y_{1}\circ e=y_{1}\circ\left(x\circ y_{2}\right)=\left(y_{1}\circ x\right)\circ y_{2}=e\circ y_{2}=y_{2}.\\ &\square \end{aligned} $$


2、群

基本定义

  定义 $ 2.1.1 $ 设 $ G $ 为一个非空集合,如果 $ G $ 上的一个二元运算 $ \cdot $ 满足
  $ \left(i\right) $ 结合律;
  $ \left(ii\right) $ 在 $ G $ 上有单位元;
  $ \left(iii\right) $ 对 $ G $ 的任意元素可逆.
则称代数结构 $ \left(G,\cdot\right) $ 为,简称为群 $ G $.群的运算 $ x\cdot y $ 简记为 $ xy $.

如果满足 $ \left(i\right) $,称这个代数结构为半群
如果满足 $ \left(i\right),\left(ii\right) $,称这个代数结构为幺半群

  定义 $ 2.1.2 $ 如果一个群是交换的,那么称这个群是交换群,或者阿贝尔群 $ \rm (N. Abel, 1802—1829) $.

  定义 $ 2.1.3 $ 如果一个群的元素是有限的,称它为有限群;否则称它为无限群.有限群 $ G $ 的元素个数称为 $ G $ 的,记作 $ \left|G\right| $.

  记号定义 $ S2.1 $ 在实数集等集合中,我们记 $ \mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\} $,对于 $ \mathbb{Q} $,$ \mathbb{C} $,$ \mathbb{N} $ 等集合同理.

  记号定义 $ S2.2 $ 在群 $ \left(G,\cdot\right) $ 中,记
  $ (1)\;\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot\cdot\cdot a}_{n 个}=a^{n} $,其中 $ n\in\mathbb{N}^{*} $;
  $ (2) $ 单位元 $ e=a^{0} $;
  $ (3)\;a $ 的逆元为 $ a^{-1} $;
  $ (4)\;\left(a^{-1}\right)^{n}=a^{-n} $,其中 $ n\in\mathbb{N}^{*} $.

  定理 $ T2.1 $ 在群 $ \left(G,\cdot\right) $ 中,若 $ a\in G $,则对 $ \forall\, m, n\in\mathbb{Z} $,有

$ a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} $,$ \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\times n} $,

其中 $ + $ 是算数和, $ \times $ 是算数积.

  $ T2.1 $ 证明 分类讨论并使用结合律即可.

生成元

  定义 $ 2.2.1 $ 在群 $ G $ 中如果 $ \exists\;\left\{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}\right\}=S\subseteq G $,对于 $ \forall\;x\in G $,$ \exists\;i_{1},i_{2},\cdots,i_{n}\in\mathbb{Z} $ 使得 $ x=\varepsilon_{1}^{i_{1}}\cdot\varepsilon_{2}^{i_{2}}\cdot\cdots\cdot\varepsilon_{n}^{i_{n}} $,则称元素最少的那个 $ S $ 中所有元素是 $ G $ 的生成元,记为 $ G = \langle S\rangle $.如果 $ S $ 中元素的个数是有限的,称 $ G $ 为有限生成群,$ S $ 中元素的个数称为 $ G $ 的

循环群

  定义 $ 2.3.1 $ 在群 $ G $ 中如果 $ \exists\;a\in G $,对于 $ \forall\;x\in G $,$ \exists\;i\in\mathbb{Z} $ 使得 $ x=a^{i} $,则称 $ G $ 是由 $ a $ 生成的循环群,可以仿照定义 $ 2.2.1 $ 记作 $ G = \langle \left\{a\right\}\rangle $,亦可以直接记作 $ G = \langle a\rangle $.

显然,循环群是秩为 $ 1 $ 的有限生成群.

集合整数集和二元运算算数和组成的群 $ \left(\mathbb{Z},+\right) $(一般简记为整数加群)就是一个由 $ 1 $ 或者 $ -1 $ 生成的无限循环群.

  定义 $ 2.3.2 $ 在群 $ G $ 中,对于其中某一元素 $ x\in G $,使得 $ x^{d}=e $ 的最小正整数 $ d $ 称为 $ x $ 的(注意和 $ G $ 的阶区分),并称 $ x $ 是有限阶元,记作 $ o\left(x\right)=d $;如果不存在 $ d $ 使得 $ x^{d}=e $,则称 $ x $ 是无限阶元,记作 $ o\left(x\right)=\infty $.

整数加群中仅单位元 $ 0 $ 有阶 $ o\left(0\right)=1 $,其余元素为无限阶元.

一些实例

对称群

  引 $ L2.1 $ 在 $ n $ 元集合 $ X $ 上(一般用集合 $ X = \left\{ 1, 2, \ldots, n \right\} $ 表示),如果一个映射 $ \pi $,将这个集合中每一个元素 $ k $ 对应到 $ X $ 里的另一个元素 $ i_{k} $ 上,并且,这种映射是双射,则称 $ \pi $ 是 $ X $ 的一个置换(这是一种映射),记作 $ \pi=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n} \end{pmatrix} $.

注意,这里的 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n} \end{pmatrix} $ 只要满足 $ 1 $ 对应的是 $ i_{1} $,$ 2 $ 对应 $ i_{2} $ 此类即可.$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & \ldots & n \\ i_{2} & i_{1} & \ldots & i_{n} \end{pmatrix} $ 是和它完全相同的置换.

  引 $ L2.2 $ 如果置换 $ \pi $ 形如 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ 1 & 2 & \ldots & n \end{pmatrix} $,则称 $ \pi $ 是恒等置换,记为 $ \iota $.

  引 $ L2.3 $ $ n $ 元置换的全体记为 $ S_{n} $(这是一个映射的集合).下面我们定义二元运算 $ \cdot:S_{n}\times S_{n}\rightarrow S_{n} $ 使它成为一个群.

  引 $ L2.4 $ 定义二元运算 $ \cdot:S_{n}\times S_{n}\rightarrow S_{n} $.若在 $ S_{n} $ 中有两个置换 $ \sigma $ 和 $ \tau $,那么置换 $ \sigma\cdot\tau=\pi $ 是指,对 $ n $ 元集合 $ X $ 先施加 $ \tau $ 再施加 $ \sigma $,等价于对 $ X $ 直接施加 $ \pi $.这种二元运算称为复合(这是一种映射集上的二元运算.换句难懂但更本质的话说,这一种映射集上的映射)

  定理 $ T2.2 $ $ \left(S_{n}, \cdot\right) $ 是群.称为 $ n $ 元对称群,简称 $ S_{n} $.

  $ T2.2 $ 证明 略证:
  $ \left(1\right) $ $ S_{n} $ 可以视为以 $ S_{n} $ 上层为原像,下层为像的映射,而 $ S_{n} $ 的复合可以视为该映射的合成,映射的合成是结合的;
  $ \left(2\right) $ 恒等置换是单位元.
  $ \left(3\right) $ 类似 $ \left(1\right) $,显然 $ S_{n} $ 映射是双射,双射的运算是可逆的(上下层互换).$ \square $

  定理 $ T2.3 $ $ \left(S_{n}, \cdot\right) $ 是有限群,$ \left|S_{n}\right|=n! $.

  $ T2.2 $ 证明 略证:

任意 $ \begin{pmatrix} k_{1} & k_{2} & \ldots & k_{n} \\ i_{k_{1}} & i_{k_{2}} & \ldots & i_{k_{n}} \end{pmatrix} $ 可以重新整理为某个 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n} \end{pmatrix} $,而 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n} \end{pmatrix} $ 中 $ i_{1},i_{2},\cdots,i_{n} $ 有 $ n! $ 种两两不同的排列.$ \square $

旋转群

模 $ n $ 剩余类群

子群

  定义 $ 2.5.1 $ 设 $ \left( G, \ast \right) $ 是一个群,如果 $ G $ 的非空子集 $ H $ 对 $ \ast $ 也构成群,则称 $ H $ 是 $ G $ 的一个子群,记作 $ H \leqslant G $.

..


待更新……

评论

  1. 3月前
    2021-3-12 7:36:49

    すげぇな!タスちゃんてぇてぇ!

    • 在原白音
      3月前
      2021-3-13 0:27:34

      我刚才在Gravatar重新加入了这个邮件地址,现在应该能显示头像了。ヾ(≧∇≦*)ゝ

  2. 3月前
    2021-3-12 9:07:33

    QwQ

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